aksioma matematika

Kata aksioma berasal dari Bahasa Yunani αξιωμα (axioma), yang berarti dianggap berharga atau sesuai atau dianggap terbukti dengan sendirinya. Kata ini berasal dari αξιοειν (axioein), yang berarti dianggap berharga, yang kemudian berasal dari αξιος (axios), yang berarti berharga. Di antara banyak filsuf Yunani, suatu aksioma adalah suatu pernyataan yang bisa dilihat kebenarannya tanpa perlu adanya bukti. Kata aksioma juga dimengerti dalam matematika. Akan tetapi, aksioma dalam matematika bukan berarti proposisi yang terbukti dengan sendirinya. Melainkan, suatu titik awal dari sistem logika. Misalnya, 1+1=2. Nama lain dari aksioma adalah postulat. Suatu aksioma adalah basis dari sistem logika formal yang bersama-sama dengan aturan inferensi mendefinisikan logika.

teori grup

Teori grup adalah abstraksi gagasan yang umum untuk sejumlah bidang utama yang sedang dipelajari dasarnya secara bersamaan.

Tiga bidang utama yang menimbulkan teori grup adalah:

(1) geometri pada awal abad 19, 

(2) teori bilangan pada akhir abad ke 18, 

(3) teori persamaan aljabar pada akhir abad ke 18 yang mengarah ke studi tentang permutasi. 

(1) Geometri telah dipelajari untuk waktu yang sangat lama sehingga wajar untuk bertanya apa yang terjadi pada geometri pada awal abad 19 yang memberikan kontribusi pada peningkatan konsep kelompok. Geometri telah mulai kehilangan 'metrik' nya karakter dengan geometri proyektif dan non-euclidean sedang dipelajari. Juga gerakan untuk belajar geometri dalam dimensi n mengarah ke abstraksi dalam geometri itu sendiri. Perbedaan antara dan kejadian geometri metrik berasal dari karya Monge , muridnya Carnot dan mungkin yang paling penting pekerjaan Poncelet. Non-euclidean geometri dipelajari oleh Lambert , Gauss ,Lobachevsky dan János Bolyai antara lain.

Möbius pada tahun 1827, meskipun ia benar-benar menyadari konsep kelompok, mulai mengklasifikasikan geometri menggunakan fakta bahwa geometri tertentu studi sifat invarian bawah kelompok tertentu. Steiner pada tahun 1832 mempelajari pengertian geometri sintetis yang akhirnya menjadi bagian dari penelitian kelompok transformasi.

(2) Tahun 1761 Euler belajar aritmatika modular. Secara khusus ia memeriksa sisa kekuasaan dari modulo n nomor. Meskipun Euler pekerjaan ', tentu saja, tidak dinyatakan dalam istilah teoritis kelompok dia tidak memberikan contoh penguraian kelompok abelian ke cohimpunans dari sebuah subkelompok. Dia juga membuktikan sebuah kasus khusus dari urutan subkelompok menjadi pembagi dari tatanan kelompok.

Gauss pada tahun 1801 adalah untuk mengambil Euler pekerjaan 'lebih jauh dan memberikan cukup banyak bekerja pada aritmatika modular yang berjumlah cukup banyak teori kelompok abelian. Dia memeriksa perintah elemen dan membuktikan (meskipun tidak dalam notasi ini) bahwa ada sub untuk himpunaniap nomor membagi urutan grup siklik. Gauss juga diperiksa kelompok abelian lainnya. Dia memandang bentuk kuadrat biner

ax 2 + 2 bxy + cy 2 di mana a, b, c adalah bilangan bulat.

Gauss memeriksa perilaku bentuk yang transformasi dan substitusi. Dia partisi bentuk ke dalam kelas dan kemudian menentukan komposisi di kelas. Gaussmembuktikan bahwa urutan komposisi tiga bentuk adalah material begitu, dalam bahasa modern, hukum asosiatif berlaku. Bahkan Gauss memiliki kelompok abelian terbatas dan kemudian (tahun 1869).

(3) Permutasi pertama kali dipelajari oleh Lagrange dalam makalahnya 1770 pada teori persamaan aljabar. Lagrange 's objek utama adalah untuk mengetahui mengapa dan quartic persamaan kubik dapat diselesaikan secara aljabar. Dalam mempelajari kubik, misalnya, Lagrange mengasumsikan akar dari persamaan kubik yang diberikan adalah x',''x dan x'''. Kemudian, mengambil 1, w, w^2 sebagai akar kubus persatuan, ia memeriksa ekspresi

R = x '+ wx''+ w^2 x'''

dan catatan yang dibutuhkan hanya dua nilai yang berbeda di bawah enam permutasi dari akar x ', x'', x'''. Meskipun awal kelompok teori permutasi dapat dilihat dalam karya ini, Lagrange tidak pernah composes permutasi nya sehingga dalam beberapa hal tidak pernah membahas kelompok sama sekali.

Orang pertama yang mengklaim bahwa persamaan derajat 5 tidak bisa diselesaikan secara aljabar adalah Ruffini . Pada tahun 1799 ia menerbitkan karya yang tujuannya adalah untuk menunjukkan hal tdk dpt memecahkan persamaan quintic umum. Ruffini karya 'didasarkan pada bahwa dari Lagrange tetapi Ruffini memperkenalkan kelompok permutasi. Ini dia sebut permutasi dan secara eksplisit menggunakan properti penutupan (hukum asosiatif selalu berlaku untuk permutasi). Ruffini membagi permutazione ke dalam jenis, permutasi semplice yaitu yang merupakan grup siklik dalam notasi modern, dan composta permutasi yang kelompok-kelompok non-siklik. 

Permutasi composta The Ruffini terbagi menjadi tiga jenis yang dalam notasi saat ini adalah kelompok intransitif, kelompok imprimitive transitif dan kelompok primitif transitif.

Bukti Ruffini dari hal tersebut mengecewakan dengan kurangnya reaksi terhadapnya, kertas Ruffini diterbitkan bukti lebih lanjut. Dalam sebuah kertas 1802 ia menunjukkan bahwa kelompok permutasi dikaitkan dengan sebuah persamaan tereduksi transitif mengambil pemahaman dengan baik di luar itu dari Lagrange .

Cauchy memainkan peran utama dalam mengembangkan teori permutasi. kertas pertamanya pada subyek tersebut adalah pada tahun 1815 tetapi pada tahap iniCauchy dimotivasi oleh permutasi dari akar persamaan. Namun, pada tahun 1844, Cauchy menerbitkan karya besar yang membentuk teori permutasi sebagai subyek di dalam dirinya sendiri. Dia memperkenalkan notasi kekuasaan, positif dan negatif, permutasi (dengan kekuatan 0 memberikan permutasi identitas), mendefinisikan urutan dari suatu permutasi, memperkenalkan notasi siklus dan menggunakan istilah Systeme des conjuguées substitusi grup. Cauchy panggilan dua permutasi sama jika mereka memiliki struktur siklus yang sama dan membuktikan bahwa ini adalah sama dengan permutasi yang konjugat.

Abel , pada tahun 1824, memberikan bukti diterima pertama dari hal tdk dpt mencairkan dari quintic, dan ia menggunakan ide-ide yang ada di permutasi dari akar tetapi sedikit baru dalam perkembangan teori grup.

Galois tahun 1831 adalah yang pertama untuk benar-benar memahami bahwa solusi dari suatu persamaan aljabar adalah terkait dengan struktur kelompok le Groupe permutasi yang berkaitan dengan persamaan. Dengan 1832 Galois telah menemukan bahwa sub kelompok khusus (sekarang disebut subkelompok normal) yang mendasar. Dia menyebut kelompok dekomposisi ke dalam cohimpunans dari sub dekomposisi yang tepat jika hak dan dekomposisi cohimpunan kiri bersamaan. Galois kemudian menunjukkan bahwa abelian sederhana kelompok non-order terkecil memiliki urutan 60.

Pekerjaan Galois tidak diketahui sampai Liouville menerbitkan makalah Galois pada tahun 1846. Liouville melihat dengan jelas hubungan antara teori permutasi Cauchy dan pekerjaan Galois. Namun Liouville gagal untuk memahami bahwa pentingnya Galois bekerja terletak pada konsep kelompok.

Betti mulai pada tahun 1851 menerbitkan karya yang berhubungan teori permutasi dan teori persamaan. Bahkan Betti adalah yang pertama untuk membuktikan bahwa Galois 'kelompok yang terkait dengan persamaan sebenarnya sekelompok permutasi dalam pengertian modern. Serret menerbitkan sebuah pekerjaan penting membahas Galois 'kerja, masih tanpa melihat pentingnya konsep kelompok.

Jordan dalam makalah dari 1869 dan 1870 menunjukkan 1865 bahwa ia menyadari pentingnya kelompok permutasi. Ia mendefinisikan isomorfisma kelompok permutasi dan membuktikan Jordan - Pemegang teorema untuk kelompok permutasi. Holder adalah untuk membuktikan dalam konteks kelompok abstrak pada tahun 1889.

Klein mengusulkan Program Erlangen pada tahun 1872 yang merupakan teori klasifikasi kelompok geometri. Kelompok tentu menjadi tengah panggung dalam matematika.

Mungkin perkembangan yang paling luar biasa datang bahkan sebelum Betti. Hal ini disebabkan bahasa Inggris matematikawan Cayley . Pada awal 1849 Cayley menerbitkan kertas menghubungkan ide-idenya pada permutasi Cauchy. Pada tahun 1854 Cayley menulis dua makalah yang luar biasa untuk wawasan mereka memiliki kelompok abstrak. Pada waktu itu dikenal kelompok hanya itu kelompok permutasi dan bahkan ini adalah daerah baru secara radikal, namun Cayley mendefinisikan sebuah kelompok abstrak dan memberikan tabel untuk menampilkan perkalian kelompok. Dia memberikan Cayley tabel dari beberapa kelompok permutasi khusus tetapi, jauh lebih signifikan untuk pengenalan konsep grup abstrak, dia menyadari bahwa matriks dan quaternions adalah kelompok.

Cayley makalah tentang 1854 sangat jauh di depan waktu mereka bahwa mereka memiliki dampak yang kecil. Namun ketika Cayley kembali ke topik pada tahun 1878 dengan empat makalah tentang kelompok, salah satu dari mereka yang disebut Teori kelompok, waktu yang tepat untuk konsep abstrak kelompok bergerak menuju pusat penyelidikan matematika. Cayley terbukti, di antara hasil lainnya, bahwa himpunaniap kelompok hingga dapat direpresentasikan sebagai suatu grup permutasi. Cayley karya diminta Hölder, pada tahun 1893, untuk menyelidiki kelompok order p 3, pq 2, PQR dan p 4.

Frobenius dan Netto (mahasiswa Kronecker ) membawa teori kelompok maju. Sejauh konsep abstrak yang bersangkutan, penyumbang utama berikutnya adalah Von Dyck. Von Dyck , yang telah memperoleh gelar doktor di bawah Klein 'supervisi kemudian menjadi asisten Klein. Von Dyck , dengan kertas fundamental pada tahun 1882 dan 1883, dibangun gratis kelompok dan definisi kelompok abstrak dalam hal generator dan hubungan.

Teori grup benar-benar datang dari umur dengan buku oleh Burnside Teori kelompok order hingga diterbitkan pada tahun 1897. Kedua volume aljabar buku oleh Heinrich Weber (seorang mahasiswa Dedekind ) Lehrbuch der Aljabar diterbitkan pada tahun 1895 dan 1896 menjadi teks standar. Buku-buku ini mempengaruhi generasi berikutnya matematikawan membawa teori grup ke mungkin yang utama sebagian besar teori matematika abad ke 20.

paradoks matematika

Matematikawan selalu menghadapi masalah karena mereka memperluas pengetahuan mereka tentang bidang mereka. Sebagian besar masalah dapat diselesaikan. Namun, beberapa tampaknya tidak ada solusi dan bahkan dapat menantang matematika, itulah sebabnya mereka selalu menimbulkan masalah seperti matematika. Ini dikenal sebagai paradoks, yang pernyataan yang tampaknya bertentangan sendiri atau muncul tidak logis, tapi tetap bisa jadi benar. Contohnya adalah berkata, "Aku selalu berbohong." Jika Anda berbohong, Anda mengatakan yang sebenarnya, tetapi jika Anda mengatakan yang sebenarnya, Anda berbohong. Paradoks Zeno dengan tak terhingga, dari Cantor dan Russell dengan teori himpunan, dan paradoks kembar dalam fisika relativitas telah menciptakan masalah dan argumen untuk matematikawan, serta memaksa mereka untuk berpikir tentang subyek matematika dengan cara yang berbeda dari sebelumnya.Zeno, filsuf Yunani yang tinggal di abad kelima SM, menciptakan beberapa paradoks untuk menunjukkan gagasan ruang dan waktu yang terpisah, dan bahwa dengan membagi mereka satu datang ke banyak kontradiksi. Dua dari beberapa paradoks yang disajikan contoh kontradiksi tersebut.

Yang pertama menyatakan bahwa kura-kura dan pelari cepat Achilles yang akan ras, dan bahwa kura-kura akan diberikan kepala mulai. Zeno mengatakan kepada Achilles bahwa jika ingin mengalahkan kura-kura itu, ia pertama kali harus mengejar ketinggalan dengan itu, tetapi untuk melakukan itu ia pertama kali harus menutupi himpunanengah jarak antara mereka. Kemudian, Zeno mengatakan bahwa himpunanelah Achilles tidak membuat himpunanengah dari jarak asli antara dia dan kura-kura itu, kura-kura akan telah bergerak maju, menciptakan kesenjangan baru antara keduanya. Kemudian Achilles harus menutup himpunanengah dari kesenjangan ini baru sebelum penangkapan kura-kura. Namun, begitu ia menutup himpunanengah dari kesenjangan ini baru, kura-kura akan pindah lagi dan menciptakan kesenjangan baru lagi. Ini berarti bahwa Achilles terus akan menutupi himpunanengah jarak celah, hanya untuk menemukan bahwa ia harus menutupi himpunanengah jarak celah baru. Zeno menyimpulkan bahwa selama kura-kura memiliki kepala mulai, Achilles tidak akan pernah bisa menangkapnya karena dia akan selalu meliputi jarak terbatas dalam urutan interval waktu tak terbatas. 

Paradoks kedua mempelajari sebuah panah dalam penerbangan. Zeno mengatakan bahwa jika Anda mulai untuk memecah waktu penerbangan ke dan kecil bertahap, maka Anda dapat memeriksa panah pada suatu saat tertentu, dan pada saat itu panah akan bergerak. Dia melanjutkan dengan mengatakan bahwa jika waktu adalah terdiri dari instants, maka panah tidak pernah bergerak karena pada suatu instan tertentu panah berada pada titik di ruang angkasa tapi tidak dalam gerak (Katz 57). 

Paradoks Zeno menciptakan masalah bagi matematikawan karena mereka meneliti gagasan tak terhingga dan infinitesimals dalam ruang terbatas. Aristoteles adalah orang pertama yang mencoba menyangkal pernyataan ini, mengklaim bahwa dalam contoh Achilles, "sebuah objek terbatas tidak bisa datang dalam kontak dengan hal-hal yang secara kuantitatif tak terbatas," yang berarti dibagi-tak terbatas waktu tidak akan mempengaruhi runner. Dalam masalah panah Aristoteles mengatakan waktu yang tidak terdiri dari instants terpisahkan, yang anggapan Zeno, dan bahwa meskipun panah mungkin tidak bergerak pada suatu saat, gerak tidak didefinisikan pada instants tapi selama jangka waktu tertentu (Katz 56 - 7). Meskipun demikian, karena tak terhingga tidak memiliki nilai yang nyata dan tidak nyata secara matematis, selalu ada banyak kontroversi di sekitarnya. 

Paradoks Zeno menyebabkan matematikawan berpikir hati-hati tentang konsep infinity dan infinitesimals dan tidak membuat asumsi tentang mereka. Dalam sebuah kuliah tentang Pythagoras dan ilmu Pythagoras dengan Dr Shirley kita belajar bahwa infinitesimals menciptakan masalah bagi orang Yunani. Ilmu Pythagoras ditemui krisis besar pertama dalam matematika ketika mereka menemukan akar kuadrat dari 2 ketika bekerja dengan segitiga. Mereka menganggap semua segitiga siku-siku akan memiliki panjang terbatas, dan terkejut ketika mereka menemukan sebuah segitiga 45-45-90, yang memiliki akar kuadrat dari 2 sebagai panjang sisi miring. 

Penelitian infinite Zeno sangat penting untuk matematika karena membantu memimpin perkembangan besar dalam kalkulus. Batas menemukan pendekatan fungsi sebagai mendekati tak terbatas, dan dalam Shirley kuliah Dr pada kalkulus kita belajar itu adalah batas yang diselesaikan krisis kedua dalam matematika tentang bagaimana menafsirkan sebuah "ekstra" dx dalam masalah derivatif. Selanjutnya, di tahun 1600-an Leibniz menjadi terganggu dengan menggunakan nya infinitesimals dalam diferensiasi, dan memutuskan untuk membenarkan penggunaan mereka. Walaupun untuk Leibniz itu tidak pernah benar-benar penting maupun tidak infinitesimals ada, ia menemukan bahwa jika rasio tertentu adalah benar ketika kuantitas terbatas, maka rasio yang sama akan berlaku ketika berhadapan dengan batas-batas dan nilai-nilai yang tak terbatas. Teknik manipulasi menjadi sangat berguna untuk Johann dan Jakob Bernoulli yang menerima infinitesimals sebagai entitas matematika dan menggunakannya untuk membuat penemuan penting dalam kalkulus dan aplikasi nya (Katz 530-1). 

Paradoks yang diciptakan oleh Cantor di paruh kedua abad ke 19 mencakup konsep kardinalitas dan hubungannya dengan Teori himpunan (Katz 734). Kardinalitas pada dasarnya menjelaskan berapa banyak nomor dalam satu himpunan, karena himpunan terbatas itu adalah yang sederhana seperti menghitung, tetapi himpunan yang tak terbatas tidak dapat memiliki kardinalitas yang dapat diwakili oleh seluruh nomor. Ia menemukan bahwa jika anggota suatu himpunan tak terhingga dapat dimasukkan ke dalam satu-ke-satu korespondensi dengan satu sama lain, tanpa meninggalkan angka tambahan di himpunan baik, maka dua himpunan memiliki kardinalitas yang sama. Satu-ke-satu korespondensi berarti bahwa untuk himpunaniap anggota dalam satu himpunan, ada anggota yang sesuai pada himpunan kedua. Sebagai contoh, dalam sebuah e-mail dengan profesor saya, Shirley Dr mencatat bahwa himpunan bilangan bulat positif dan himpunan kuadrat sempurna keduanya terbatas dan memiliki hubungan n  n2 untuk setiap anggota dari himpunan, yang berarti mereka memiliki satu-ke-satu korespondensi. Cantor membuktikan bahwa himpunan bilangan real memiliki kardinalitas lebih besar dari himpunan bilangan bulat, paradoks berarti bahwa himpunan tak terhingga dari bilangan real adalah "lebih besar" dari himpunan tak terhingga bilangan bulat. Secara umum, paradoks Cantor dimulai dengan menyatakan bahwa himpunan semua himpunan (sebut saja himpunan B) adalah kekuatannya sendiri himpunan, dimana himpunan daya adalah himpunan semua subhimpunan dari sebuah himpunan A. Power himpunan selalu lebih besar daripada himpunan yang terkait dengan mereka (Weisstein, "Power Himpunan" 1). Paradoksnya menyimpulkan yang diberikan himpunan B, kardinalitas himpunan B harus lebih besar dari dirinya sendiri. Untuk memahami paradoks, kita harus mempertimbangkan Teorema Cantor, yang menyatakan bahwa kardinalitas himpunan lebih rendah dari kardinalitas dari semua himpunan bagian perusahaan (Weisstein, "Cantori Teorema 1). Paradoksnya adalah bahwa jika himpunan B adalah himpunan semua himpunan, maka kardinalitas subhimpunan dari B akan lebih besar dari B himpunan, namun kardinalitas himpunan B harus sama karena himpunan B dan subhimpunan dari B yang sama (Weisstein, Paradoks 1 Cantor).

Paradoks Russell, ditemukan pada awal abad ke-20, memberikan pandangan bahkan lebih umum dari paradoks teori himpunan ditemukan oleh Cantor. Ini menyatakan bahwa R adalah himpunan semua himpunan yang tidak menjadi anggota dari diri mereka sendiri, yang berarti bahwa semua himpunan dalam R tidak mengandung diri mereka sebagai elemen. Pertanyaannya kemudian menjadi, apakah R mengandung dirinya sebagai elemen? Jika kita menganggap bahwa R tidak mengandung sendiri, kemudian oleh R definisi tidak dapat berisi itu sendiri dan sebaliknya. Masalahnya adalah yang paling sering diberikan sebagai paradoks tukang cukur. Misalkan di kota kecil hanya ada satu tukang cukur yang didefinisikan sebagai orang yang mencukur semua orang yang tidak bercukur sendiri. Lalu pertanyaannya adalah "yang mencukur si tukang cukur?" Jika tukang cukur tidak mencukur dirinya sendiri, maka ia tidak menurut definisi. Jika tukang cukur tidak mencukur dirinya sendiri, maka dengan definisi yang dia lakukan (Russell Paradox 3).

Paradoks Cantor dan Russell sangat penting untuk bidang teori himpunan karena mereka disebabkan matematikawan untuk memeriksa asumsi mereka buat sebelumnya. Paradoks ini menunjukkan bahwa teori himpunan pada waktu itu (banyak yang dirancang oleh Cantor) memiliki banyak inkonsistensi karena banyak dari itu murni intuitif dan tidak didasarkan pada semua jenis aksioma atau bukti. Matematikawan ini dipaksa untuk merumuskan sebuah cara untuk membuat teori mengatur lebih konsisten dan untuk memberikan pembatasan yang jelas. Pada 1900-an Ernst Zermelo menyusun tujuh aksioma yang memberikan aturan yang jelas untuk teori himpunan (Katz 809-11). Salah satunya, aksioma pemisahan (atau keteraturan) dihindari dan Russell paradoks Cantori dengan melarang diri menelan himpunan ("Russell's Paradox" 1). Paradoks ini sangat penting bagi perkembangan teori himpunan karena mereka menyatakan perlunya aturan, seperti dalam aljabar atau geometri.

Meskipun paradoks yang mengganggu dan membingungkan oleh alam, mereka tetap menjadi penting untuk matematika di mengidentifikasi masalah dan inkonsistensi dalam matematika sepanjang sejarah. Selain itu, dengan menantang pemikiran waktu, paradoks dapat menyebabkan lebih banyak penemuan yang brilian bahkan dalam matematika. Jelas, paradoks telah penting bagi matematika, dan disiplin mungkin tidak berada di tempat seperti sekarang ini tanpa mereka.

sejarah lingkaran

Lingkaran sudah ada sejak jaman prasejarah. Penemuan roda adalah penemuan mendasar dari sifat lingkaran. Orang-orang Yunani menganggap Mesir sebagai penemu geometri. Juru tulis Ahmes, penulis dari papirus Rhind, memberikan aturan untuk menentukan area dari sebuah lingkaran yang sesuai dengan π = 256 / 81 atau sekitar 3,16.

Teorema pertama yang berhubungan dengan lingkaran yang dikaitkan dengan Thales sekitar 650 SM. Buku III dari Euclid 's Elements berurusan dengan sifat lingkaran dan masalah inscribing dan escribing poligon.

Salah satu masalah matematika Yunani adalah masalah menemukan persegi dengan wilayah yang sama sebagai sebuah lingkaran yang diberikan. Beberapa 'kurva terkenal dalam tumpukan pertama kali dipelajari dalam upaya untuk memecahkan masalah ini. Anaxagoras di 450 SM adalah matematikawan recored pertama untuk studi masalah ini.

Masalah untuk menemukan luas lingkaran menyebabkan integrasi. Untuk lingkaran dengan rumus yang diberikan di atas wilayah ini π^2 dan panjang kurva adalah suatu 2π.
Pedal lingkaran adalah cardioid jika titik pedal diambil pada lingkar dan merupakan limacon jika titik pedal bukan pada keliling.

kaustik dari sebuah lingkaran dengan titik bersinar di keliling adalah cardioid, sedangkan bila sinar sejajar maka kaustik adalah nephroid .

Apollonius, pada sekitar 240 SM, efektif menunjukkan bahwa persamaan r bipolar = kr 'merupakan sistem lingkaran koaksial sebagai k bervariasi. Dalam hal persamaan bipolar mr^2 + nr^2 = c^2 merupakan sebuah lingkaran yang pusatnya membagi ruas garis antara dua titik tetap dari sistem dalam rasio n ke m.

sejarah parabola

Parabola dipelajari oleh Menaechmus yang merupakan murid dari Plato dan Eudoxus . Ia berusaha untuk menduplikasi kubus, yaitu untuk mencari sisi kubus yang memiliki volume dua kali lipat dari sebuah kubus yang diberikan. Oleh karena itu ia berusaha untuk memecahkan x^3 = 2 dengan metode geometri.

Bahkan metode geometris konstruksi penggaris dan kompas tidak bisa memecahkan ini (tapi Menaechmus tidak tahu ini). Menaechmus dipecahkan itu dengan mencari perpotongan dari dua parabola x^2 = y dan y^2 = 2 x.

Euclid menulis tentang parabola dan itu diberi nama yang sekarang oleh Apollonius. Fokus dan direktori dari parabola itu dikemukakan oleh Pappus . 
Pascal mengemukakan parabola sebagai proyeksi lingkaran dan Galileo menunjukkan bahwa proyektil mengikuti jalur parabola.

Gregory dan Newton mengemukakan sebagai properti dari sebuah parabola yang membawa sinar sejajar cahaya untuk fokus.

Pedal parabola dengan titik sebagai titik pedal adalah cissoid . Pedal dari parabola dengan fokus sebagai pedal titik adalah garis lurus. Dengan kaki pedal directrix sebagai titik itu adalah hak strophoid (sebuah strophoid miring untuk himpunaniap titik lain dari directrix). Kurva pedal saat pedal titik gambar fokus dalam directrix adalah Trisectrix dari Maclaurin .

Evolute parabola adalah parabola Neile itu . Dari titik di atas tiga normals evolute dapat ditarik untuk parabola, sementara hanya satu normal dapat ditarik untuk parabola dari titik bawah evolute. Jika fokus parabola diambil sebagai pusat inversi, parabola membalikkan ke cardioid . Jika simpul parabola diambil sebagai pusat inversi, parabola membalikkan keCissoid dari Diocles . Para kaustik dari parabola dengan sinar tegak lurus terhadap sumbu parabola adalah Tschirnhaus's Cubic 

sejarah angka nol

Al-Khawarizmi dikenal sebagai bapak Aljabar memperkenalkan bilangan nol (0), dan penerjemah karya-karya Yunani kuno. Kisah angka nol Konsep bilangan nol telah berkembang sejak zaman Babilonia danYunani kuno, yang pada saat itu diartikan sebagai ketiadaan dari sesuatu. Konsep bilangan nol dan sifat-sifatnya terus berkembang dari waktu ke waktu. Hingga pada abad ke-7, Brahmagupta seorang matematikawan India memperkenalkan beberapa sifat bilangan nol. Sifat-sifatnya adalah suatu bilangan bila dijumlahkan dengan nol adalah tetap, demikian pula sebuah bilangan bila dikalikan dengan nol akan menjadi nol. Tetapi, Brahmagupta menemui kesulitan, dan cenderung ke arah yang salah, ketika berhadapan dengan pembagian oleh bilangan no,l “sebuah bilangan dibagi oleh nol adalah tetap”. Tentu saja ini suatu kesalahan fatal. Tetapi, hal ini tetap harus sangat dihargai untuk ukuran saat itu
Ide-ide brilian dari matematikawan India selanjutnya dipelajari oleh matematikawan Muslim dan Arab. Hal ini terjadi pada tahap-tahap awal ketika matematikawan Al-Khawarizmi meneliti sistem perhitungan Hindu (India) yang menggambarkan sistem nilai tempat dari bilangan yang melibatkan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Al-Khawarizmi adalah yang pertama kali memperkenalkan penggunaan bilangan nol sebagai nilai tempat dalam basis sepuluh. Sistem ini disebut sebagai sistem bilangan decimal.Selain itu Al Khawarizmi merupakan penulis kitab aljabar (matematika) pertama di muka bumi. Beliau juga seorang ilmuan jenius pada masa keemasan Baghdad yang sangat besar sumbangsihnya terhadap ilmu aljabar dan aritmetika. Karyanya, Kitab Aljabr Wal Muqabalah (Pengutuhan Kembali dan Pembandingan) merupakan pertama kalinya dalam sejarah dimana istilah aljabar muncul dalam kontesk disiplin ilmu. Nama aljabar diambil dari bukunya yang terkenal tersebut. Karangan itu sangat populer di negara-negara barat dan diterjemahkan dari bahasa Arab ke bahasa Latin dan Italia. Bahasan yang banyak dinukil oleh ilmuwan barat dari karangan Al-Khawarizmi adalah tentang persamaan kuadrat. Sumbangan Al-Khwarizmi dalam ilmu ukur sudut juga luar biasa. Tabel ilmu ukur sudutnya yang berhubungan dengan fungsi sinus dan garis singgung tangen telah membantu para ahli Eropa memahami lebih jauh tentang ilmu ini. Ia mengembangkan tabel rincian trigonometri yang memuat fungsi sinus, kosinus dan kotangen serta konsep diferensiasi.Karya-karya al-Khawarizmi di bidang matematika sebenarnya banyak mengacu pada tulisan mengenai aljabar yang disusun oleh Diophantus (250 SM) dari Yunani. Namun, dalam meneliti buku-buku aljabar tersebut, al-Khawarizmi menemukan beberapa kesalahan dan permasalahan yang masih kabur. Kesalahan dan permasalahan itu diperbaiki, dijelaskan, dan dikembangkan oleh al-Khawarizmi dalam karya-karya aljabarnya. Oleh sebab itu, tidaklah mengherankan apabila ia dijuluki ”Bapak Aljabar.”Di bidang ilmu ukur, al-Khawarizmi juga dikenal sebagai peletak rumus ilmu ukur dan penyusun daftar logaritma serta hitungan desimal. Namun, beberapa sarjana matematika Barat, seperti John Napier (1550–1617) dan Simon Stevin (1548–1620), menganggap penemuan itu merupakan hasil pemikiran mereka. Selain matematika, Al-Khawarizmi juga dikenal sebagai astronom. Di bawah Khalifah Ma’mun, sebuah tim astronom yang dipimpinnya berhasil menentukan ukuran dan bentuk bundaran bumi. Penelitian itu dilakukan di Sanjar dan Palmyra. Hasilnya hanya selisih 2,877 kaki dari ukuran garis tengah bumi yang sebenarnya. Sebuah perhitungan luar biasa yang dapat dilakukan pada saat itu. Al-Khawarizmi juga menyusun buku tentang penghitungan waktu berdasarkan bayang-bayang matahari.
Setelah al-Khawarizmi meninggal, keberadaan karyanya beralih kepada komunitas Islam. Yaitu, bagaimana cara menjabarkan bilangan dalam sebuah metode perhitungan, termasuk dalam bilangan pecahan; suatu penghitungan Aljabar yang merupakan warisan untuk menyelesaikan persoalan perhitungan dan rumusan yang lebih akurat dari yang pernah ada sebelumnya. Di dunia Barat, Ilmu Matematika lebih banyak dipengaruhi oleh karya al-Khawarizmi dibanding karya para penulis pada Abad Pertengahan. Masyarakat modern saat ini berutang budi kepada al-Khawarizmi dalam hal penggunaan bilangan Arab. Notasi penempatan bilangan dengan basis 10, penggunaan bilangan irasional dan diperkenalkannya konsep Aljabar modern, membuatnya layak menjadi figur penting dalam bidang Matematika dan revolusi perhitungan di Abad Pertengahan di daratan Eropa. Dengan penyatuan Matematika Yunani, Hindu dan mungkin Babilonia, teks Aljabar merupakan salah satu karya Islam di dunia Internasional.

Implikasi:
Berkat penemuan angka nol, maka dunia matematika dijaman sekarang semakin maju, misalnya dengan ditemokan berbagai rumus seperti rumus sinus, cosinu, tangent ataupun rumus trigonometi. Selain dalam dunia matematika penemuan angka nol ternyata sangat mempengaruhi dunia tegnologi khususnya computer/ digital yaitu ditemukannya gerbang logika dan kode ASCII.
Gerbang logika atau sering juga disebut gerbang logika Boolean merupakan sebuah sistem pemrosesan dasar yang dapat memproses input-input yang berupa bilangan biner menjadi sebuah output yang berkondisi yang akhirnya digunakan untuk proses selanjutnya. Gerbang logika dapat mengkondisikan input – input yang masuk kemudian menjadikannya sebuah output yang sesuai dengan apa yang ditentukan olehnya. Terdapat tiga gerbang logika dasar, yaitu : gerbang AND, gerbang OR, gerbang NOT. Ketiga gerbang ini menghasilkan empat gerbang berikutnya, yaitu : gerbang NAND, gerbang NOR, gerbang XOR, gerbang XAND.
Rangkaian aritmatika dasar termasuk kedalam rangkaian kombinasional yaitu suatu rangkaian yang outputnya tidak tergantung pada kondisi output sebelumnya, hanya tergantung pada present state dari input. Dari gerbang logika tersebut bisa dikembangkan menjadi berbagai macam tegnologi mulai dari teknologi sederhana seperti stopwatch, jam, hingga dunia internet, satelit, pesawat terbang, dan sebagainya. Semua itu tidak akan luput dari peran serta gerbang-gerbang logika ini.
Angka nol juga berperan dalam ditemukannyan kode ASCII, yaitu kode Standar Amerika untuk Pertukaran Informasi atau ASCII (American Standard Code for Information Interchange) merupakan suatu standar internasional dalam kode huruf dan simbol seperti Hex dan Unicode tetapi ASCII lebih bersifat universal, contohnya 124 adalah untuk karakter “|”. Ia selalu digunakan oleh komputer dan alat komunikasi lain untuk menunjukkan teks. Kode ASCII sebenarnya memiliki komposisi bilangan biner sebanyak 8 bit. Dimulai dari 0000 0000 hingga 1111 1111. Total kombinasi yang dihasilkan sebanyak 256, dimulai dari kode 0 hingga 255 dalam sistem bilangan Desimal
(ASCII)American Standard Code for Internation Interchange. Biasanya disingkat dengan ASCII. Suatu kode skema yang menggunakan 7 atau 8 bit, yang memberikan lambang sebanyak 256 jenis karakter. Di dalam karakter-karakter ini, telah termasuk di dalamnya huruf, angka, lambang-lambang khusus, kode kontrol perintah, serta kode lainnya. ASCII ini didevelop pada tahun 1968, yang merupakan standar untuk transmisi data antara software dan hardware. ASCII ini digunakan dalam dikebanyakan komputer mini, dan di seluruh komputer pribadi. Standar yang berlaku di seluruh dunia untuk kode berupa angka yang merepresentasikan karakter-karakter, baik huruf, angka, maupun simbol yang digunakan oleh komputer. Terdapat 128 karakter standar ASCII yang masing-masing direpresentasikan oleh tujuh digit bilangan biner mulai dari 0000000 hingga 1111111.
format yang banyak digunakan untuk file teks di dalam dunia komputer dan internet. Di dalam file ASCII, masing-masing alphabetic, numeric, atau karakter khusus direpresentasikan dalam 7-bit bilangan biner (kumpulan dari nolatau satu sebanyak tujuh angka). Karakter dalam kode ASCII dibagi dalam beberapa group yaitu : control character, angka, huruf besar, huruf kecil, dan tanda baca (pada tabel tidak begitu jelas). Control-character ini sering disebut sebagai non-printable-character, yaitu karakter yang dikirim sebagai tahap awal (pengenalan) dalam berbagai kegunaan komunikasi data, misalnya sebelum informasi dikirim dari PC ke printer.
Dengan kumpulan bit ini terdapat sebanyak 128 character yang bisa didefinisikan. Sistem operasi berbasis Unix dan DOS menggunakan ASCII untuk file teks, sedangkan Windows NT dan 2000 menggunakan kode yang lebih baru yang dikenal dengan istilah unicode. Sistem yang dikeluarkan oleh IBM menggunakan data yang dibentuk dari 8 bit, yang disebut dengan EBCDIC.